Capire l’epidemia con meccanismi di contagio e modelli matematici

In questi giorni, leggendo di coronavirus sui quotidiani o sulla rete, avrete sentito parlare di matematica del contagio, la matematica può fornire infatti un aiuto importante per capire come e quanto un’infezione come quella da covid-19 si diffonde.

Più di 250 anni fa, il matematico svizzero Daniel Bernoulli, che per primo descrisse con linguaggio matematico la diffusione del vaiolo, scriveva: “mi auguro solo che in una questione che riguarda così da vicino il bene dell’umanità, si decida con la piena consapevolezza che un po’ di analisi e di calcolo possono fornire”. Un pensiero che, anche dopo 250 anni, può essere ancora molto attuale.

Prevedere come si diffonde un’infezione è possibile basandosi su modelli matematici. Un modello matematico è una descrizione (semplificata) tramite formule ed equazioni (il linguaggio della matematica) di un aspetto della realtà che vogliamo conoscere.

Cosa occorre sapere per costruire un modello per il coronavirus? Essenzialmente due cose: quanto le persone infette contagiano quelle sane e dopo quanto tempo gli infetti guariscono. I modelli ci dicono che se riusciamo a ridurre sotto una certa soglia il numero di contagi che ogni infetto genera, l’epidemia si estinguerà da sola.

Le misure restrittive relative alla circolazione delle persone, alla chiusura delle scuole e alla limitazione degli eventi collettivi, prese dal Governo Italiano, hanno proprio lo scopo di diminuire i contatti ravvicinati da persona a persona, che sono alla base della trasmissione del coronavirus, portando il numero di contagi sotto la soglia di sicurezza.

I modelli matematici per le epidemie si basano sul cosiddetto modello SIR, introdotto dagli scienziati scozzesi Kermack e McKendrick nel 1927. La sigla SIR deriva dalle iniziali dei gruppi (detti compartimenti) in cui il modello suddivide la popolazione:
• S – Suscettibili: coloro che possono contrarre l’infezione,
• I – Infetti: coloro che hanno contratto l’infezione e possono contagiare altri soggetti,
• R – Recovered o immuni: coloro che sono guariti.

Per ciascun compartimento si definiscono i meccanismi attraverso i quali gli individui entrano ed escono da ogni gruppo (infezione, guarigione ecc..) e si traducono in termini matematici.

L’analisi della grande quantità di informazioni e di dati a disposizione permette di stimare alcuni indici fondamentali che giocano un ruolo importante nella messa a punto di un modello matematico di tipo SIR per una specifica epidemia.

Tra questi il più significativo è il numero riproduttivo di base, universalmente indicato con la sigla R0 “erre con zero”, che rappresenta il numero di nuovi casi prodotti da un individuo infetto, nel corso della sua malattia, in una popolazione tutta suscettibile. Il numero R0 rappresenta un parametro soglia.

Se  R0 < 1 –>  la malattia si estinguerà con conseguenze limitate
Se  R0 > 1 –>  l’infezione sarà in grado di esplodere e l’epidemia di invadere la popolazione

Nel caso R0 superi 1, ossia quando ogni individuo infetto genera più di un nuovo caso tra i suscettibili, si assiste alla rapida crescita del numero di infetti fino al raggiungimento del cosiddetto picco epidemico, ossia il massimo valore di infetti registrati, dopodiché l’epidemia rallenta la sua corsa, il numero di infetti comincia a diminuire fino a riportare la situazione a livelli normali. Questo andamento è correttamente descritto dai modelli SIR e si può osservare ogni anno nell’epidemia di influenza stagionale.

Alcuni esempi di R0. Per il morbillo R0 è stimato intorno a 15, quindi durante un’epidemia di morbillo, una persona infetta ne contagia in media altre quindici, se nessuna è vaccinata. Per la parotite, R0 è all’incirca 10. L’R0 dell’influenza spagnola del 1918 è stato calcolato retrospettivamente intorno a 2,1.

Per l’epidemia di covid-19, R0 è attualmente stimato tra 2 e 3, anche se alcuni indicano un numero più elevato e al momento i dati al riguardo non sono ancora del tutto stabili e quindi attendibili, in ogni caso senza dubbio l’epidemia è in fase di espansione.

In termini dei parametri del modello SIR, il numero R0 dipende principalmente da due fattori:
• tasso di infezione: probabilità di contagio in seguito a contatto con un infetto
• tasso di rimozione: tempo che ci si impiega a guarire.

Quindi la modellistica matematica ci dice che per abbassare R0 al di sotto della soglia critica 1 occorre cercare di ridurre il tasso di infezione o cercare di aumentare il tasso di rimozione.

Vanno nella direzione di ridurre il tasso di infezione le disposizioni che mirano a limitare i contatti tra gli individui (chiusura di scuole, università, luoghi di culto, eventi…), mentre le azioni messe in atto dalle autorità sanitarie e governative, mirate all’isolamento dei casi accertati, alla quarantena nelle zone più a rischio, all’ospedalizzazione dei casi più gravi, vanno nella direzione di aumentare il tasso di rimozione.

Gli epidemiologi sanno inoltre che il solo modo di fermare sul serio un’epidemia è che il numero di Suscettibili diventi abbastanza basso da rendere poco probabile il contagio, ad esempio quando la popolazione è vaccinata. I vaccini ci fanno passare da Suscettibili a Recovered senza attraversare la malattia. Ma non è il nostro caso per il momento, non abbiamo anticorpi efficaci e non abbiamo vaccini, tradotto nel modello SIR, significa che siamo ancora tutti Suscettibili.